发布日期：2025-07-04 14:41 点击次数：81
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小编是从结构辩论转向CAE仿真，深知关于非力学专科建树的使命者学习CAE仿竟然难度，不仅在于软件层面操作，更在于对表面基础的学习和清楚。刚从事CAE时，小编其时就很猜疑，为什么需要画网格、网格节点编号物理意旨是什么、网格质料为什么安然热心雅克比、单位积分点指的是什么…。由此，小编念念聚会自己的使命学习体会，与环球全部共享有限元仿真，讲好每一课，全部感受CAE的魔力。
1弹性力学基本方程在弹性力学分析中，需要通过静力分析、几何分析和物理分析建筑模样物体变体式态和应力情状基本方程，将力常识题转动为偏微分方程的边值问题。针对三个方面建筑的方程等于弹性力学中的三大基本方程：均衡方程、几何方程和物理方程。
1.1均衡方程均衡方程是模样应力重量和膂力重量之间的微分讨论方程。如图1-1是在直角坐标系下微元体应力散布。平面AMBD的正应力
图片黑人 巨屌
，通过泰勒伸开，可得回平面ECGF的正应力变为图片
，近似可得回通盘面的正应力和切应力。图片
图1-1 微元体应力散布图
说明微元体各力对x、y、z协力矩为0，可得切应力互等定理：
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切应力互等定理
说明微元体上各力沿x轴协力为0的均衡要求可得：
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其中
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为微元体x标的的膂力重量，将方程两头同期除以dxdydz并进行整理可得：图片
同理说明微元体y和z标的均衡要求亦可得对应方程。均衡方程如下式:
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均衡方程
将均衡方程用矩阵暗示为：
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均衡方程矩阵抒发
其中为A微分算子矩阵，σ为应力布阵，b为膂力布阵：
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1.2几何方程弹性力学中几何方程是模样应变重量和位移重量间的微分讨论方程。如图1-2为微元体二维应变图。
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图1-2 微元体二维应变图
假定P坐标(x，y)，PA=dx，PB=dy，P'相对P在x标的转移u， 在y标的转移v，则A'相对A在x标的转移距离通过泰勒伸开得
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，同理可得A'在y标的转移距离和B'在x、y标的转移距离。变形后P'A'长度为:
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于是可得正应变
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为:图片
同理可得其它应变方程。几何方程如下式：
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几何方程
几何方程可用矩阵模样：
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其中为ε应变布阵，u为位移布阵，L为微分算子矩阵：
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1.3物理方程弹性力学中物理方程是模样应力重量和应变重量的讨论方程。若材料为各项同性，说明材料力学中广义胡克定律可得：
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广义胡克定律
其中E、
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、G诀别为弹性模量、泊松比和剪切模量，三者之间讨论：图片
将上式用应变暗示应力的局势为：
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其中
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用拉梅常数局势暗示为：
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其中
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弹性体的物理方程可用矩阵局势进行模样：
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其中为ε应变布阵，σ为应力布阵，S为柔度矩阵，D为刚度矩阵。
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2 畛域要求求解弹性力常识题，除了基本方程外还需要界说畛域要求。在弹性体的畛域上，已知外力称为应力畛域要求；已知位移，称为位移畛域要求。如图2-1为不同标的截面应力讨论。
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图2-1 不同标的截面应力争
由x标的均衡要求可得：
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其中
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、图片
、图片
为截面法向量的标的余弦。同理可得另外两个方程。则应力畛域要求：图片
用矩阵暗示为：
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其中为σ应力矩阵，也称为应力张量；n称为标的余弦矩阵；P为已知面力矩阵。
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位移畛域要求暗示为：
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暗示为矩阵局势：
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其中
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为已知位移布阵：图片
3 最小势能旨趣最小势能旨趣：在通盘变形可能的位移场中，确凿的位移场使总势能泛函取最小值。说明最小势能旨趣，确凿位移场使得弹性体势能泛函的变分为零，即：
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其中
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为总势能。自在最小势能旨趣的解一定自在均衡方程及应力畛域要求。弹性体总势能
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为应变势能Vε与外力势能Vp之和:图片
如图为弹性体单向应力情状下应力和应变讨论图：
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单向应力情状下应变能密度：
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将其彭胀到一般情况上，总应变能：
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其中为σ应力布阵，ε为应变布阵。
国产av弹性体外力势能：
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其中b为膂力布阵，S为面力布阵。
说明物理方程可知应力重量不错用应变重量暗示，说明几何方程可知应变重量不错用位移重量暗示，因此应力重量也不错用位移重量暗示，则弹性体总势能不错暗示为自变量为位移函数的函数。说明最小势能旨趣，弹性问题转为求势能泛函极值问题。
4 实例耕作设有长度的简支梁，受均布载荷q作用下，足下最小势能旨趣求简支梁的挠度方程。
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说明畛域要求可假定近似解为：
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说明应变势能公式可得梁的应变势能：
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由材料力学可知：
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将(c)式代入(b)式，梁的应变势能可进一步暗示：
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由惯性矩公式可知：
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将(e)式代入(d)式梁的应变势能:
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梁的外力势能：
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总势能：
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说明最小势能旨趣，得回：
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说明上式求出和，再带回方程(a)中：
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课后问题：
说明梁的畛域要求，假定挠弧线方程近似解如公式(k)，终端又是何如呢？
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